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瞬间速度近似于那段时间的平均速度，那么我们就会发现物理学的定律是能
够证实的。因此我们可以把“瞬间速度”当作为了方便而想出来的数学上的
虚构。
同样，莱新巴哈可能说，当他说到在n 为无限时一个频率的极限的时候，
他所指的只是在很大的数目下实际的频率，或者不如说具有很小限度误差的
这种频串。无限大和无限小是同样不能观察的，因而（他可能说）对于经验
科学来说是同样无关宏旨的。
我愿意承认这个答案的正确性。我只因为莱新巴哈的书没有明确地把这
一点讲出来而感到惋惜；但是我却认为他心里一定是这样想的。
有利于他的学说的第二个论点就是它正好适用于我们愿意对之应用概率
论证的那些实例。当我们关于某一将来事件具有某些数据，但却不足以确定
这个事件在我们感到兴趣的方面所具有的特性时，我们就愿意使用这些论
证。比方说，我的死亡是一个将来的事件，并且如果我去保寿险，我就可能
想知道关于我可能死在某一特定年份存在着什么证据。就这样的实例来说，
我们总有许多记录在一个系列中的个别事实，并且我们假定我们迄今所发现
的那些频率将大体继续下去。或者举赌博为例，这是全部概率产生的来源。
我们感到兴趣的并不是一次掷两个骰子有36 种可能的结果这个单纯的事
实。我们感到兴趣的是这件事实（如果它是事实的话），即在由抛掷组成的
一个很长的系列中，这36 种可能当中每一种可能都有近似相等的实现次数。
这是一件不能仅从36 种可能的存在推论出来的事实。当你遇到一个生人的时
候，恰好有着两种可能：一方面，他可能是埃本尼兹·威尔克斯·斯密士；
另一方面，他可能不是。但是在我漫长的一生中，我遇到过许多生人，我发
现前一种只实现过一次。纯粹数学中的概率论只列举可能的事例，除非我们
知道每种可能的事例发生的频率近似相等，或者以某种已知频率发生，否则
这种理论就没有实用上的好处。如果我们研究的是事件，而不是一个逻辑图
式，那就只能通过实际统计才能知道，而我们可以说实际统计的应用一定要
大体按照莱新巴哈的理论来进行。
我也将只是暂时承认这种论证；将来我们考察归纳的时候，我们将重新
研究这种论证。
对于照莱新巴哈所讲的那种理论还有另外一种不同性质的反对意见，这
种意见所针对的是他在似乎只需要类的情况下引入了级数。让我们举一个具
体的例来说明：任意选取的一个整数是质数的机会有多少？如果我们按照整
数的自然顺序来选取整数，那么照他的定义来说，机会是零；因为如果n 是
一个整数，在为大数时，小于或等于的质数的数目近似于n
logn
n
，所以一个
n
小于的整数为质数的机会近似于
log n
，而在无限增大时n
log n
n
11
的极限为零。但
是现在假定我们按照下面的方式重新排列整数：先排好前9 个质数，然后排
上第一个不是质数的数，再排好下9 个质数，然后排上第二个不是质数的数，
这样一直无限地排下去。当整数按照这种顺序排好之后，莱新巴哈的定义表
明任意选取的一个数目为质数的机会是9/10。我们甚至能把整数安排得使一
个数目不为质数的机会为零。为了得到这个结果，先排第一个非质数——即
4——然后再在第n 个非质数的后面排上已经排好的质数以后的n 个质数；这
个级数的开始是：4，1，6，2，3，8，5，7，11，9，13，17，19，23，10，29，31，37，41，43，12，。。。在这个排列中，在第（n＋1）个非质数之
就将有n 个非质数和1/2n（n＋1）个质数；这样随着n 的增大，非质数的数
目与质数的数目之比就趋近于0，而以0 为极限。
从这个具体例子来看，显然如果我们接受莱新巴哈的定义，同时已知任
何一个具有与自然数项数相同的类A，并且已知任何一个无限子类B； 那么一
个任意选取的A为一个B 的机会将为0到1 之间的任何数（包括0和1 在内），
这要看我们选择的把B 分配在A 中的方式来决定。
由此可以看出，如果要把概率应用到无限集合上来，它一定适用于级数
而不适用于类。这一点看来似乎有些奇怪。
诚然，就经验界的数据来讲，这些数据都是按照时间顺序出现的，因而
也就构成一个系列。如果我们愿意假定将有无限多个我们正在研究的那种事
件出现，那么我们也能确定我们的概率定义只适用于按照时间序列排好的事
件。但是在纯粹数学的范围之外，我们还不知道有什么无限级数，并且就我
们所能得出的判断来讲，大多数系列都是有限的。一个六十岁的人死于癌症
的机会是多少？显然我们可以计算这种结果，而无需假定征时间终结之前死
于癌症的人数为无限大。但是照字面的解释来看，莱新巴哈的定义认为这是
不可能的。
如果概率依靠按照时间顺序而不是按照其它可能的顺序来排列事件，那
么概率就不能成为逻辑的一个分支，而必须是关于自然过程研究的一部分。
这并不是莱新巴哈的看法；相反，他认为一切真正的逻辑都是概然逻辑，并且
古典的逻辑的错误就在于把命题分为真伪两种，而不是把命题当作具有这种
或那种程度概率的东两。所以他本来无需引入象时间这类现实世界中偶然性
的特点，只用抽象的逻辑说法就能够叙述概率论中最基本的内容。
那种把概率当作统计的看法与莱新巴哈也在主张的那种认为一切命题由
于缺少必然性而只具有不同程度的概然性的看法是很难结合在一起的。困难
在于我们似乎陷入了无尽止的后退。假定我们说一个得瘟病的人死于这种病
这句话带有概然性。这样说的意思是如果我们能够说出从最早的时代直到人
类灭亡所有患瘟病的人所组成的系列，我们就将发现他们当中有半数以上死
于这种病。因为将来和大部分过去都没有记载，我们就假定记载的情况是较
好的样本。但是现在我们要记住我们的全部知识都只有概然性；所以如果我
们在编写统计时发现记载上写着某甲得瘟病而死，我们一定不能把这个项目
当作具有必然性而只能当作具有概然性的东西。为了发现它的概然性有多
大，我们必须把它包括在一个系列中，比方说官方的死亡证明书中，而且我
们必须找出某种方法确定死亡证明书有多大一部分是正确的。这里我们的统
计中将有一个项目是：“布朗先生经过官方鉴定已经死亡，但是后来发现他
仍然活着”。但是这句话又只能具有概然性，所以一定是记载的官方错误所
组成的系列中的一个错误，这些错误之中有些后来发现并不是错误。这就是
说我们必须收集人们错误地相信一个已被鉴定死亡的人后来却发现仍然活着
的实例。这个过程永远也不会完结，如果我们的全部知识只具有概然性，并
且概率又只是统计结果的话。如果我们想避免无尽止的后退，并且如果我们
的全部知识只能具有概然性，那么我们就必须把“概然性”解释为“可信度”，
并且必须通过统计以外的方法来计算。统计上的概率只能在真正的或假定的
必然性的基础上来计算。
我将在谈到归纳时再来讲莱新巴哈。目前我想讲清楚我个人关于数学的
概率与自然的进程之间的关连的看法。让我们就伯诺利的大数定律的一个实
例进行具体说明，选择的是可能有的最简单情况。我们已经看到如果我们列
出由n 个不是1 就是2 的个位数组成的所有可能有的整数，那么如果n 大的
话——比方说不小于1000——可能出现的整数中有极大多数会具有相同数
目的1 和2。这只是下面这个事实的一个应用，即在（x＋y）n 的二项展开式
中当n 大时靠近中间的系数的和接近所有系数的和，这个和就是2n。但是这
和如果我常常抛掷钱币我将得到出正面和出反面的数目大概会相等这个说法
又有什么关系？一个是一件逻辑事实，而另一个则显然是一件经验的事实；
它们之间的关连是什么？
就“概然性”的某些解释来说，一个包括“概然性”这个词在内的命题
永远不能成为一个经验命题。人们承认不大可能的事可能发生；而可能的事
却可能不发生。由此可以看出：实际发生的事并不说明先