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数，而且数与形的概念也在不断地丰富和发展，书写出一部人类数学的光辉
发展史。在世界数学发展过程中，世界古代后期，数学确实取得了举世瞩目
的成就。公元前146年以后，古罗马统治下的古希腊亚历山大后期，海伦（约
公元62年）、C·托勒密（约公元85—165年）、尼科马霍斯 （约公元100
年）、丢番图（约公元250年）、帕普斯（约公元300—350年）等学者，继
承了欧几里得（约公元前330—前275年）、阿基米德（公元前287—前212
年）、阿波罗尼斯 （约公元前260—前170年）等亚历山大前期数学家的工
作，不断开拓创新，在三角学、算术和代数等方面颇有建树，其成果对后世
数学的发展产生了重大的影响。但是在公元325年以后，由于罗马帝国统治
者崇尚基督教神学和经院哲学，利用宗教作为统治工具，使数学研究受到了
严重的影响，阻碍了数学的发展。
中国古代后期已进入封建社会。秦、汉、魏晋南北朝时期，经济、文化
得到迅速发展，特别是在数学领域里，取得了史无前例的成就，形成了中国
古代数学体系，涌现出刘微 （生卒年月不详）、祖冲之（公元429—500年）
等杰出的数学家，他们在算术、代数、几何等方面的研究成果，对世界文化
的发展产生了重大的 推动作用。
印度古代数学，如同印度文明一样，具有悠久的历史，但对后世产生较
大影响的，则是印度的数码和十进位记数法，以及著名数学家阿耶波多第一
（公元467—550年）在代数学、三角和三率法等方面的研究成果。
总之，古罗马时期，中国秦汉、魏晋南北朝及古印度时期的数学成就，
为世界数学史增添了夺目的光辉，推动了人类数学的发展。
1。古罗马时期的数学
古罗马数学是指亚历山大后期的数学，即始于公元前146年希腊陷于罗
马，结束于641年亚历山大城被阿拉伯人占领。也就是古希腊数学发展历史
中的第三期。
希腊数学的发展史分为三个时期。约公元前7世纪中叶到公元前3世纪
为第一期；从欧几里得起到公元前146年希腊陷于罗马止为第二期，即亚历
山大前期；亚历山大后期的为第三期。
公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离了哲学和天文学而成为一门独
立的学科，这个时期的数学已经从实验和观察为依据的经验科学过渡到演译
的科学。即由少数几个原始命题（公理）出发、通过逻辑推理得到一系列定
理；而且初等代数、初等几何、算术已基本形成独立的科目，与17世纪出现
的解析几何、微积分学相比，其研究内容可以用“初等数学”来概括，因此
数学界称这一时期为“初等数学时期”。
古希腊数学的全盛期在亚历山大前期，当时数学家云集在当时的文化中
心——亚历山大里亚，进行教学与研究，涌现出象阿基米德、欧几里得、阿
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波罗尼斯等众多伟大的数学家，造成一时的声势。亚历山大后期的数学成就
虽不象前期那么大，但在托勒密、海伦、门纳劳斯、帕普斯等人的辛勤劳作
下，亚历山大学者仍继承了前期数学家的遗产，不断有所发现，推动着数学
的进步与发展。
（1）托勒密
托勒密 （约公元85—165年）是古代天文学的集大成者。他继承前贤尤
其是喜帕恰斯的成就，加以整理发挥，编入他的《天文集》13卷中。该书是
亚历山大学派或整个古代天文学的总结，它的基本理论是地球中心说。此书
包括从0°—90°每隔半度的弦表，其作用相当于从0°—90°每隔1/4°的
正弦函数表。
托勒密采用巴比伦人的60进位制，把圆周分为360°。另一方面，又将
半径分为60等份，每一份分为60小份，每一小份再分为更小的份，依次类
推。他把这些小份依次称为“第一小份”、“第二小份”。后来“小”变成
了“分”（minte），“第二”变成秒（sec…ond），这就是“分、秒”名称
的来源。
托勒密取半径的1/60作为长度的单位，例如60°的弦长是60°、对
90°的弦长是 2 60°或84 °51 ′11″。
他利用圆内接正五边形和十边形的边长推导对36°与72°的弦长。其他
的弦长，则根据“托勒密定理”来推导。实质上托勒密已经得到下列公式：
2 2
sinx＋cosx=1、sin（x—y）＝sinx cosy—cosx
x 1
siny、cos （x＋y）= cosx cosy
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（3）其他
此外，希腊学者尼科马霍斯（公元100年前后，杰拉什地方今约旦北部
一带的人）；因著有《算术入门》一书，通俗易懂，明白晓畅，成为算术入
门的基础，对后世也产生了较大的影响。
2。印度的数学
古代印度也是世界文明的发源地之一，曾对人类文明作出过不可磨灭的
贡献。在古代后期，印度文明进一步发展，在数学上的突出成就是对数码的
完善和阿耶波多第一对三角学的卓越贡献。
（1）印度数码的完善
现代国际上通用的阿拉伯数码最早是由印度人发明的，它 的发明有一
段漫长而复杂的历史。
最初印度人用梵文（印度古代文字）的字头表示数码，即早在公元前2500
年前后出现的“哈拉巴数码”，其数码形状是：
■
公元前后，古印度则通行起卡罗什奇数码和婆罗门数码。其中，卡罗什
奇数码的形状为：
■
婆罗门数码的形状为：
卡罗什奇数码：■
婆罗门数码：■
公元2世纪，数码又写成下面的形状：■
公元5世纪后印度数码中已明确出现了零的符号，使记数逐渐演变为十
进位值制。
8世纪以后，则演变为“德温那格利”（Devanagri）数码，记为：■
零号是印度人的卓越发明，没有零号，就没有完整的位值制记数法，这
种记数法能用简单的几个数码表示一切数。世界上也有不少民族懂得零的道
理，然而进行系统地研究、处理和介绍零，还是以印度人的功劳最大。
公元773年，巴格达城的印度天文学家，开始把印度的天文学及数学书
籍译成阿拉伯文，使印度的数码传到中亚细亚和西亚。当时印刷术还没有发
明，书籍全用手抄，字体因人因地而异，出入很大。
12世纪之初，欧洲开始将大量阿拉伯文的数学书籍译成拉丁文。意大利
的斐波那契是当时最出色的学者，他用拉丁文写成《算盘书》，将印度的阿
拉伯数码和记数制度介绍给欧洲人，书的开头说：“印度的九个数目字是9、
8、7、6、5、4、3、2、1，用这九个数字以及阿拉伯人叫做Sift（零）的记
号0，任何数都可以表示出来”。当时这些数码和现代的写法仍然有很大的
差别。
印度数码传入中亚细亚时，梵文的空（Sunya）被译成阿拉伯文Sifr，
传入欧洲后变成拉丁文Zephirum，以后再变成英文的零字Cipher和Zero。
欧洲人只知道这些数码从阿拉伯人传来，故称之为“阿拉伯数码”。
以后，中国的印刷术传到欧洲，在1480年英国的卡克斯敦（1422—1491）
出版的印刷本书籍中，数码已相当接近于现代的写法：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
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到1522年，英国同斯托（1474—1559）的书才和现在的写法基本上一致，
以后逐渐固定下来。
阿拉伯数码传入中国，最早是在13、14世纪，但迟迟不被采用。到1859
年伟烈亚力和李善兰合译《代微积拾级》一书中，将常数A、B、C、D译成甲、
乙、丙、丁；X、Y译成天、地；阿拉伯数码译成一、二、三、四等。
中国迟迟不采用阿拉伯数码，主要原因可能是�