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为真的限制？
3。如果加以适当限制这两者之一都为真，那么在这样的限制下，它是一
个逻辑的定律还是一个自然界的定律？
4。它可以从某个其它原理推导出来吗？例如自然界的种类，凯恩斯的有
限变异说，法则的支配，自然界的齐一性，或者其它原理。
5。归纳原理应当用一种不同形式说出来吗？也就是说：已知一个假设h
具有许多已知的真的后果并且没有已知的假的后果，这件事实能使h 具有概
然性吗，如果在一般情况下不能，在适当情况下它能做到这一点吗？
6。在归纳公设为真的情况下将使已被公认的科学推论正确有效的归纳公
设的最低限度形式是什么？
7。有没有任何理由，并且如果有的话是什么理由，使得我们认为这个最
低限度的公设为真？或者，如果没有这类理由，是否还有按照假定它为真来
行动的理由，在这些讨论中我们需要记住一般所用的“概然的”这个词在意
义上的含混不清。当我说在某些情况下，“大概”下一个a 将是一个β时，
我希望能够按照有限频率说来解释这个现象，但是如果401 我说归纳原理“大
概”是真的，我一定是在用“大概”这个词来表示高度的可信性。如果不把
“概然的”这个词所具有的这两种意义适当划分开来，就很容易发生混淆。
我们将要进行的这个讨论具有一段可以认为是从休谟开始的历史。就很
多次要问题来说，我们已经取得了确定的看法；有时这些次要的问题人们当
初并没有看出来。但是我们现在进行的研究已经使我们看得相当清楚：得出
成果的技术上的讨论对于主要问题的阐明并没有起多大作用，这个主要问题
大体上仍然和休谟留下来的情况一样。
B。单纯列举的归纳法
单纯列举的归纳法就是下面这个原理：“已知有n 个数目的a 已经发现
为β，并且没有a 已经发现不是β，那么这两个陈述：（a）‘下一个a 将是
一个β’，（b）‘所有的a 都是β’就都具有一种随着n 的增加而增加的概
率，并且当n 接近无限大时接近必然性而以它为极限”。
我将把（a）叫作“特殊归纳”，而把（b）叫作“一般归纳”。这样（a）
将根据我们关于过去人类都有死的知识推断某某先生也有死，而（b）则将推
断大概所有的人都有死。
在我们还没有接触到较难或有疑问的论点之前，某些比较重要的问题却
可以比较容易地得到解决。这些问题是：
1。如果归纳要完成我们期望它在科学中所完成的任务，“概率”的解释
就必须使得一个概率陈述断言一件事实；这就要求所涉及的那种概率应当从
真与伪推导出来，而不是一个不能下定义的概念；而这一点又能使有限频率
的解释或多或少成为不可避免的解释。
2。归纳在应用到自然数列的时候显然是无效的。
3。归纳作为一个逻辑原理是无效的。
4。归纳要求它所根据的实例是一个级数，而不仅仅是一个类。
5。为了使这个原理有效，不管需要规定什么限制，必须通过给a 和β这
些类下定义的内包的说法表达出来，而不是通过外延的说法。
6。如果宇宙中的事物数目是有限的，或者只有某个有限类对于这种归纳
有关，那么就一个足够大的n 来说，归纳就成为可以证明的东西；但是在实
际应用上这一点并不重要，因为这里所说的n 比任何实际研究中可能遇到的
一定更大。
我现在就来证明这些命题。
1。如果我们把“概然性”当作一个不可下定义的概念，我们就不得不承
认不大可能的事也可能发生，因此一个概率命题关于自然界的进程并没有向
我们提供任何知识。如果我们采取这个看法，归纳原理就可能是正确有效的，
然而每个符合这个原理的推论却可能证明为伪；这是不大可能，但并非不可
能的事。因此，一个使归纳为真的世界在经验界中是不能与一个使归纳为伪
的世界区别开来的。由此可以看出永远不可能找出任何支持或反对这个原理
的证据，并且它也不能帮助我们推论将要发生的事。如果这个原理要达到它
的目的，我们就必须把“概然”的意思解释为“实际上通常发生的事物”；
这就是说，我们必须把一个概率解释为一个频率。
2。算术中的归纳在算术中我们容易找出导致正确结论的归纳实例，也容
易找到其它导致错误结论的归纳实例。耶方斯举出两个实例：
5，15，35，45，65，95
7，17，37，47，67，97
在第一行中，每个以5 结尾的数都可以被5 整除；这就使人推想每个以
5 结尾的数都可以被5 整除，而这是对的。在第二行中，每个以7 结尾的数
是一个质数；这也可能使人推想每个以7 结尾的数都是质数，而这却是错误
的。
或者让我们看：“每个为偶数的整数是两个质数的和”。每个试过的实
例都说明这是对的，而这样的实例在数量上是很大403 的。然而人们对于它
是否永远为真这一点却一直抱着合理的怀疑。
作为算术归纳的一个明显失败的例，让我们看下面这个实例①：使π（x）
≤x 的质数的数目
li x
dt
t o
x
（ ）
log
= ò
我们知道当x 数大时，π（x）和li（x）几乎相等。我们还知道对于每
个已知的质数来说，π（x）＜li（x）
高斯推想过这个不等式永远为真。人们试过所有107 以下的质数以及许
① 看哈代的《腊玛努赞》第16，17 页。
多超过 107 的质数，都没有发现不能成立的个别情况。然而里脱伍德在1912
年却证明对于无限数目的质数来说这个不等式不能成立，斯古士（伦敦数学
学会通报，1933 年）也证明这个不等式对于某个小于
34
10
10
10
的数不能成立。我们将看到高斯的推想尽管已经证明是错误的，它却具有甚
至比我们最坚信不移的关于经验界的概括所依靠的要好得多的归纳证据。
我们很容易无限制地得出算术中的错误归纳，而无需过多地涉及数论。
举例来说，小于n 的任何数都不能被n 整除。我们可以使n 任意增大，这样
就为“任何数目都不能被n 整除”这个概括找到尽可能多的有利的归纳证据。
显然任何n 个整数一定具有大多数整数所不具有的许多共同性质。举一
件事情来说，如果m 是其中最大的数，它们就都具有不比m 大这个无限罕见
的性质。所以如果应用到整数上来，无论一般的还是特殊的归纳都不是正确
有效的，除非在它身上应用归纳的那种性质具有某些限制。我不知道怎样说
出这种限制，然而任何一个有能力的数学家关于那种可能得出一个后来证明
正确有效的归纳的性质都具有一种类似常识的觉察力。如果你看到l＋3＝
22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，你就会容易推想到
1＋3＋5＋。。＋（2n—1）＝n2
并且我们可以很容易证明这个想法是正确的。同样，如果你看到13＋23
＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，你就会推想到靠前面的n 个立
方的和永远是一个平方数，而这又是很容易加以证明的。对于这类归纳来讲，
数学的直观并不是永远可靠的，但是有能力的数学家运用直观时对的次数似
乎比错的次数要多。但是我不知道怎样讲明白在这类情况下指导数学直观的
那种东西。另外，我们只能够说还没有任何已知的限制能使应用到自然数上
的归纳有效。
3。归纳作为一个逻辑原理是无效的显然如果我们可以任意选择我们
的类β，我们就可以很容易地确信我们的归纳将要失败。设a1，a2，。。an
为a 中直到现在已经观察过的分子，并已发现它们都是β的分子，另外设an
＋1 为a 的下一个分子。就纯粹逻辑的范围而论，β也许只由a1，a2，。。an
这些项目组成；或者它也许是由把an＋1除外的宇宙中所有事物组成；或者它
也许是由任何介乎这两者之间的任何类组成。就这类情况中无论哪一种情况
来说，推论到an＋1的归纳都是错误的。
显然（反对的人可能说）β必须不是一个也许可以叫作“制造出来的”
类，即一个部分地由外延得到定义的类。在归纳推论中所研究的那类例子中，
β永远是一个通过内包而不是通过外延来知道的类，除了那些被观察到的分
子a1，a2，。。an以及那些不同时是a 的分子而又碰巧可能被观察到的β的
分子。
我们很容易做出显然错误的归纳。一个乡下人可能说�