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在各种自然事件——天体的运行、日月的升落，四季的变换——之中，存在着一种规律性，存在着某种一致性——这是人类最早的伟大经验之一。甚至在神话思想中，这种经验就已经得到了充分的承认和独特的表达。在这里我们看到了关于自然的一种普遍秩序的观念之最早迹象。而且早在毕达哥拉斯时代以前，这种秩序就已经不仅用神话的术语而且还用数学的符号来描述了。神话语言和数学语言在早期巴比伦占星术体系中以非常奇特的方式互相结合起来，而这种占星术体系一直可以追溯到大约公元前3800年那么早的一段时期。不同星群之间的区分、黄道带的十二重分割，都是由巴比伦天文学家们完成的。如果没有一种新的理论基础的话那就不可能获得这些成果。但是，要创立第一个数的哲学，就必须有更大胆的概括。毕达哥拉斯派思想家们最早把数设想为一种无所不包的真正普遍的要素。它的用处不再局限在某一特殊的研究领域以内，而是扩展到了存在的全部领域。当毕达哥拉斯作出他的第一个伟大发现时——当他发现音调的高度依赖于震动弦的长度时，对哲学和数学思想的未来方向具有决定意义的并不是这种事实本身，而是对这种事实的解释。毕达哥拉斯不可能把这种发现看成是一种孤立的现象。最深奥的神秘之一——美的神秘，似乎在这里被揭示出来了。对希腊精神来说，美始终具有一种完全客观的意义。美就是真，它是实在的一种基本品格。如果我们在音调的和谐中发现的美可以被还原为一种简单的数的比例的话，那么正是数向我们揭示了宇宙秩序的基本结构。毕达哥拉斯派有一句原话：“数是人类思想的向导和主人，没有它的力量，万物就都处于昏暗混乱之中。”我们并不是生活在真理的世界中，而是生活在蒙蔽和错觉的世界中。在数中，而且只有在数中，我们才发现了一个可理解的宇宙。
认为这种宇宙是一种新的话语宇宙universe of discourse，认为数的世界是一种符号世界——这种看法是与毕达哥拉斯派思想家的精神完全相异的。这里也象在所有其他场合中一样，在符号和对象之间不存在任何明确的区别，符号不仅说明对象，而且明确地代替了对象。事物不仅仅是与数相联系，或可以用数来表示，而且它们就是数。我们现在不再主张这种数的实体化实在性的毕达哥拉斯派论点了，我们不再把数看成是实在的真正核心。但是我们必须承认，数是人类知识的基本功能之一，是伟大的客观化过程中的一个必要步骤。这种过程开始于语言，但是在科学中它表现出一种全新的形态。因为数的符号体系是一种与言语的符号体系完全不同的逻辑类型。在语言中我们可以看见最初的分类活动，但是它们还是不协调的。它们不可能做到真正的系统化。因为语言符号本身没有任何确定的系统秩序。每一个别的语言学词汇都有一个特殊的“意义域”。正如伽狄纳所说，它是“一束光，在一个句子所意指的事物或不如说一系列复杂的互相联系的事物的领域内先照亮这一部分，然后又照亮那一部分”。但是所有这些不同的光束并不具有一个共同的焦点，它们是分散而孤立的。在“杂多的综合”中每一个新的语词都有一个新的开端。
一当我们进到数的领域，这种事态就完全变了。我们不能说单个的或孤立的数。数的本质总是相对的，不是绝对的。一个单个的数只是一个一般的系统序列中的一个单个的位置而已。它不具有它自己的存在，没有自足的实在。它的意义是由它在整个数列中所占的位置来决定的。自然数的系列是一个无穷系列。但是这种无穷没有对我们的理论知识设定任何界限。它并不意味着任何不确定性，并不意味着一种柏拉图意义上的无限者Apeiron，而是恰恰相反：在数的进展中，我们不会遇到外在的限制，不会遇到一个“终极项”。我们在这里所发现的是由于一种内在的逻辑原则而形成的限制。所有的项都被一个共同的纽带联结在一起。它们来源于同一种生成关系，这种关系把一个数n与它的直接后继数联系起来n＋１。从这种非常简单的关系中，我们可以推导出整数的全部特性。这种系统具有的与众不同的特征和最大逻辑特权就是它的彻底透明性。在我们现代理论中——在弗雷格和罗素的理论、皮阿诺和戴德金的理论中——数已经失去了它的全部本体论的奥秘。我们把它看成是一种新的强有力的符号体系；对一切科学的目的来说，这种符号体系比言语的符号体系具有无比的优越性。因为我们在这里所发现的不再是孤立的语词，而是按照完全相同的基本程序而排列起来的项，因此，它向我们展示了一种清晰而明确的结构法则。
然而，毕达哥拉斯的发现在自然科学的发展中仅仅意味着第一步。整个毕达哥拉斯的数论在当时突然由于一个新的事实而遭到怀疑。当毕达哥拉斯派学者们发现，在一个直角三角形中，对着直角的那条线与其它的两条边没有任何共同的计量单位时，他们不得不面临一个全新的问题。在整个希腊思想的历史上，尤其是在柏拉图的对话中，我们都能感到这种困境的深刻反响。它标示着希腊数学中的一个真正危机。没有一个古代思想家能够用我们近代的方式即靠引入所谓的“无理数”来解决这个问题。从古希腊的逻辑和数学观点来看，无理数是一个语词矛盾的说法。它们是一个不可思议不可言说的东西。因为数一直都被定义为一个整数或整数之间的一种比例，因此一种不能用同一单位计量的长度就是一种不能用任何数来表达的长度：它公然蔑视和嘲笑数的一切逻辑力量。毕达哥拉斯学派在数中寻求和发现的，本来是一切种类的存在与一切形式的认识——知觉、直观、思想——之间的尽善尽美的和谐。在那里，算术、几何学、物理学、音乐、天文学似乎形成了一个唯一而连贯的整体：天地万物成为“一种和谐和一个数。”然而，当人们发现了不能用同一单位计量的长度之后，就摧毁了这个论点。从此以后，在算术和几何学之间、在不连续的数的领域与连续的量的领域之间，不再有任何真正的和谐。
为了恢复这种和谐，数学和哲学思想的研究花费了许多世纪的时间。一种数学连续统的逻辑理论是数学思想最近的成就之一。没有这种理论，新的数——分数、无理数，等等——的全部创造似乎就总是非常成问题和靠不住的事业。如果人类心智能够以它自己的力量随意创造一个新的事物领域的话，那我们就不得不改变我们关于客观真理的全部概念了。但是在这里只要我们考虑到了数的符号性质，这种困窘也就算不了什么了。倘若这样的话那就十分明显：在引入新的类型的数时，我们并没有创造新的物体，而是创造了新的符号。在这一点上，自然数与分数、无理数是一样的：它们也不是对具体事物、物理对象的描述或映象，而是表达了非常简单的关系。数的自然领域的扩大，它之延伸到更大的范围，仅仅意味着引入了新的符号，这种符号易于描述更高层次的关系。这种新的数不是简单关系的符号，而是“关系的关系”的符号，“关系的关系的关系”的符号，等等。所有这些并不与整数的性质相矛盾，而是说明和进一步证实了这种性质。为了填补整数它是不连续的量与在时空连续统中的物理事件世界之间的裂缝，数学思想一定要找到一种新的工具。只要数一直是一种“物”，是一种自身存在并且通过自身被认识的自在实体substantiaquae in se est et per se concipitur，那么这个问题就始终是不可解决的。但是既然数是一种符号语言，因此唯一需要的就是以首尾一贯的方式发展这种语言的词汇