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往全新世界的大门。1913年初，年轻的丹麦人汉森（Hans Marius Hansen）请教玻尔，在
他那量子化的原子模型里如何解释原子的光谱线问题。对于这个问题，玻尔之前并没有太
多地考虑过，原子光谱对他来说是陌生和复杂的，成千条谱线和种种奇怪的效应在他看来
太杂乱无章，似乎不能从中得出什么有用的信息。然而汉森告诉玻尔，这里面其实是有规
律的，比如巴尔末公式就是。他敦促玻尔关心一下巴尔末的工作。
突然间，就像伊翁（Ion）发现了藏在箱子里的绘着戈耳工的麻布，一切都豁然开朗。山
重水复疑无路，柳暗花明又一村。在谁也没有想到的地方，量子得到了决定性的突破。
1954年，玻尔回忆道：当我一看见巴尔末的公式，一切就都清楚不过了。
要从头回顾光谱学的发展，又得从伟大的本生和基尔霍夫说起，而那势必又是一篇规模宏
大的文字。鉴于篇幅，我们只需要简单地了解一下这方面的背景知识，因为本史话原来也
没有打算把方方面面都事无巨细地描述完全。概括来说，当时的人们已经知道，任何元素
在被加热时都会释放出含有特定波长的光线，比如我们从中学的焰色实验中知道，钠盐放
射出明亮的黄光，钾盐则呈紫色，锂是红色，铜是绿色……等等。将这些光线通过分光镜
投射到屏幕上，便得到光谱线。各种元素在光谱里一览无余：钠总是表现为一对黄线，锂
产生一条明亮的红线和一条较暗的橙线，钾则是一条紫线。总而言之，任何元素都产生特
定的唯一谱线。
但是，这些谱线呈现什么规律以及为什么会有这些规律，却是一个大难题。拿氢原子的谱
线来说吧，这是最简单的原子谱线了。它就呈现为一组线段，每一条线都代表了一个特定
的波长。比如在可见光区间内，氢原子的光谱线依次为：656，484，434，410，397，388
，383，380……纳米。这些数据无疑不是杂乱无章的，1885年，瑞士的一位数学教师巴尔
末（Johann Balmer）发现了其中的规律，并总结了一个公式来表示这些波长之间的关系
，这就是著名的巴尔末公式。将它的原始形式稍微变换一下，用波长的倒数来表示，则显
得更加简单明了：
ν＝R（1/2^2 … 1/n^2）
其中的R是一个常数，称为里德伯（Rydberg）常数，n是大于2的正整数（3，4，5……等
等）。
在很长一段时间里，这是一个十分有用的经验公式。但没有人可以说明，这个公式背后的
意义是什么，以及如何从基本理论将它推导出来。但是在玻尔眼里，这无疑是一个晴天霹
雳，它像一个火花，瞬间点燃了玻尔的灵感，所有的疑惑在那一刻变得顺理成章了，玻尔
知道，隐藏在原子里的秘密，终于向他嫣然展开笑颜。
我们来看一下巴耳末公式，这里面用到了一个变量n，那是大于2的任何正整数。n可以等
于3，可以等于4，但不能等于3。5，这无疑是一种量子化的表述。玻尔深呼了一口气，他
的大脑在急速地运转，原子只能放射出波长符合某种量子规律的辐射，这说明了什么呢？
我们回忆一下从普朗克引出的那个经典量子公式：E = hν。频率（波长）是能量的量度
，原子只释放特定波长的辐射，说明在原子内部，它只能以特定的量吸收或发射能量。而
原子怎么会吸收或者释放能量的呢？这在当时已经有了一定的认识，比如斯塔克
（J。Stark）就提出，光谱的谱线是由电子在不同势能的位置之间移动而放射出来的，英
国人尼科尔森（J。W。Nicholson）也有着类似的想法。玻尔对这些工作无疑都是了解的。
一个大胆的想法在玻尔的脑中浮现出来：原子内部只能释放特定量的能量，说明电子只能
在特定的“势能位置”之间转换。也就是说，电子只能按照某些“确定的”轨道运行，这
些轨道，必须符合一定的势能条件，从而使得电子在这些轨道间跃迁时，只能释放出符合
巴耳末公式的能量来。
我们可以这样来打比方。如果你在中学里好好地听讲过物理课，你应该知道势能的转化。
一个体重100公斤的人从1米高的台阶上跳下来，他/她会获得1000焦耳的能量，当然，这
些能量会转化为落下时的动能。但如果情况是这样的，我们通过某种方法得知，一个体重
100公斤的人跳下了若干级高度相同的台阶后，总共释放出了1000焦耳的能量，那么我们
关于每一级台阶的高度可以说些什么呢？
明显而直接的计算就是，这个人总共下落了1米，这就为我们台阶的高度加上了一个严格
的限制。如果在平时，我们会承认，一个台阶可以有任意的高度，完全看建造者的兴趣而
已。但如果加上了我们的这个条件，每一级台阶的高度就不再是任意的了。我们可以假设
，总共只有一级台阶，那么它的高度就是1米。或者这个人总共跳了两级台阶，那么每级
台阶的高度是0。5米。如果跳了3次，那么每级就是1/3米。如果你是间谍片的爱好者，那
么大概你会推测每级台阶高1/39米。但是无论如何，我们不可能得到这样的结论，即每级
台阶高0。6米。道理是明显的：高0。6米的台阶不符合我们的观测（总共释放了1000焦耳能
量）。如果只有一级这样的台阶，那么它带来的能量就不够，如果有两级，那么总高度就
达到了1。2米，导致释放的能量超过了观测值。如果要符合我们的观测，那么必须假定总
共有一又三分之二级台阶，而这无疑是荒谬的，因为小孩子都知道，台阶只能有整数级。
在这里，台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。这个条件就限制了每级台阶的
高度只能是1米，或者1/2米，而不能是这其间的任何一个数字。
原子和电子的故事在道理上基本和这个差不多。我们还记得，在卢瑟福模型里，电子像行
星一样绕着原子核打转。当电子离核最近的时候，它的能量最低，可以看成是在“平地”
上的状态。但是，一旦电子获得了特定的能量，它就获得了动力，向上“攀登”一个或几
个台阶，到达一个新的轨道。当然，如果没有了能量的补充，它又将从那个高处的轨道上
掉落下来，一直回到“平地”状态为止，同时把当初的能量再次以辐射的形式释放出来。
关键是，我们现在知道，在这一过程中，电子只能释放或吸收特定的能量（由光谱的巴尔
末公式给出），而不是连续不断的。玻尔做出了合理的推断：这说明电子所攀登的“台阶
”，它们必须符合一定的高度条件，而不能像经典理论所假设的那样，是连续而任意的。
连续性被破坏，量子化条件必须成为原子理论的主宰。
我们不得不再一次用到量子公式E = hν，还请各位多多包涵。史蒂芬？霍金在他那畅销书
《时间简史》的Acknowledgements里面说，插入任何一个数学公式都会使作品的销量减半
，所以他考虑再三，只用了一个公式E = mc2。我们的史话本是戏作，也不考虑那么多，
但就算列出公式，也不强求各位看客理解其数学意义。唯有这个E = hν，笔者觉得还是
有必要清楚它的含义，这对于整部史话的理解也是有好处的，从科学意义上来说，它也决
不亚于爱因斯坦的那个E = mc2。所以还是不厌其烦地重复一下这个方程的描述：E代表能
量，h是普朗克常数，ν是频率。
回到正题，玻尔现在清楚了，氢原子的光谱线代表了电子从一个特定的台阶跳跃到另外一
个台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道
）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”，“一楼”，“二楼
”等，在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里。正如一个人不能悬在两
级台阶之间漂浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3表示，那么当这个电子突
发奇想，决定跳到“一楼”（能量W1）的期间，它便释放出了W3…W1的能量。我们要求大
家记住的那个公式再一次发挥作用，W3…W1 = hν。所以这一举动的直接结果就是，一条
频率为ν的谱线出现在该原子的光谱上。
玻尔所有的这些思想，转化�