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最后：天体永恒不毁的这一观点也不得不被人放弃了。太阳和星辰有着悠久的生命，但却不是永远生存的。它们是从星云里生出来的，并且最后不是爆炸就是要冷却而死亡。在可见的世界里，并没有什么东西是可以免于变化和毁灭的；亚里士多德式的与此相反的信仰，尽管为中世纪的基督徒所接受，其实乃是异教徒崇拜日月星辰的一种产物。
①力学mechanics，机械machine。——译者
第二十四章 希腊早期的数学与天文学
我在本章里要讨论的是数学，并不是由于数学本身的缘故，而是因为它与希腊哲学有关系——有着一种（尤其是在柏拉图的思想里）非常密切的关系。希腊人的卓越性表现在数学和天文学方面的，要比在任何别的东西上面更为明显。希腊人在艺术、文学和哲学方面的成就，其是好是坏可以依据个人的口味来评判；但是他们在几何学上的成就却是无可疑问的。他们从埃及得到了一些东西，从巴比伦那里得到的则很少；而且他们从这些来源所获得的东西，在数学方面主要地是粗糙的经验，在天文学方面则是为其非常悠久的观察记录。数学的证明方法，则几乎是完全起源于希腊。
有许多非常有趣的故事——或许并没有历史真实性——可以表明，是哪些实际问题刺激了数学的研究。最早的最简单的故事是关于泰勒斯的，传说他在埃及的时候国王曾要他求出一个金字塔的高度。他等到太阳照出来他自己影子的长度与他的身高相等的时候，就去测量金字塔的影子；这个影子当然就等于金字塔的高度。据说透视定律最初是几何学家阿加塔库斯为了给伊斯奇鲁斯的戏剧画布景而加以研究的。传说是被泰勒斯所研究过的求一只船在海上的距离的问题，在很早的阶段就已经很正确地解决了。希腊几何学所关心的大问题之一，即把一个立方体增加一倍的问题，据说是起源于某处神殿里的祭司们；神谕告诉他们说，神要的一座雕象比他们原有的那座大一倍。最初他们只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是后来他们才认识到结果就要比原象大八倍，这比神所要求的要更费钱得多。于是他们就派遣一个使者去见柏拉图，请教他的学园里有没有人能解决这个问题。几何学家们接受了这个问题，钻研了许多世纪，并且附带地产生出了许多可惊可叹的成果。这个问题当然也就是求2的立方根的问题。
2的平方根是第一个有待发现的无理数，这一无理数是早期的毕达哥拉斯派就已经知道了的，并且还发现过种种巧妙的方法来求它的近似值。最好的方法如下：假设有两列数字，我们称之为a列和b列；每一列都从1开始，每下一步的a都是由已经得到的最后的a和b相加而成；下一个b则是由两倍的前一个a再加上前一个b而构成。这样所得到的最初6对数目就是（1，1），（2，3），（5，7），（12，17），（29，41），（70，99）。在每一对数目里，2a2…b2都是1或者是－1。于是b/a就差不多是2的平方根，而且每下一步都越发地与之接近。例如，读者们将会满意地发见，99B70的平方是非常之接近于与2相等的。
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯——此人永远是个颇为蒙胧的人物——乃是第一个把几何学当作一种学艺的人。许多权威学者，包括汤姆斯。希斯①爵士在内，都相信华达哥拉斯或许曾发见过那个以他的名字命名的定理；那个定理是说在一个直角三角形中，弦的平方等于两夹边的平方之和。无论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派所知道了的。他们也知道三角形的内角之和等于两个直角。
除了2的平方根之外，其他的无理数在特殊的例子里也曾被与苏格拉底同时代的狄奥多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过。德谟克里特写过一片关于无理数的论文，但是文章的内容我们已不大知道了。柏拉图对这个题目是深感兴趣的；他在以〃；泰阿泰德〃命名的那篇对话里提过了狄奥多罗斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的，并且还暗示着他自己之开始知道它也是很晚的事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系。
发见了无理数的最重要的后果之一就是攸多克索（约当公元前408…355年）之发明关于比例的几何理论。在他以前，只有关于比例的算数理论。按照这种理论，如果a乘d等于b乘c，则a比b就等于c比d。这种界说，在还没有有关无理数的几何理论时，就只能应用于有理数。然而攸多克索提出了一个不受这种限制的新界说，其构造的方式暗示了近代的分析方法。这一理论在欧几里德的书里得到了发展，并具有极大的逻辑美。
攸多克索还发明了或者是完成了〃穷尽法〃，它后来被阿几米德运用得非常成功。这种方法是对积分学的一种预见。譬如，我们可以举圆的面积问题为例。你可以内接于一个圆而作出一个正六边形，或一个正十二边形，或者一个正一千边或一百万边的多边形。这样一个多边形，无论它有多少边，其面积是与圆的直径的平方成比例的。这个多边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你能使这一多边形有足够多的边，就可以使它的面积与圆面积之差小于任何预先指定的面积，无论这一预先指定的面积是多么地小。为了这个目的，就引用了〃阿几米德公理〃。这一公理（多少加以简化之后）是说：假设有两个数量，把较大的一个平分为两半，把一半再平分为两半，如此继续下去，则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个。换句话说，如果a大于b，则必有某一个整数n可以使2n乘b大于a。
穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿几米德所做的求抛物线形的面积；有时候则只能得出不断的近似，例如当我们试图求圆的面积的时候。求圆的面积的问题也就是决定圆周与直径的比率问题，这个比率叫作pi；。阿几米德在计算中使用了22/7的近似值，他做了内接的与外切的正96边形，从而证明了pi；小于3又1/7并大于3又10/71。这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度，并且这就是任何方法在这个问题上所能尽的一切能事了。使用内接的与外切多边形以求pi；的近似值，应该上溯到苏格拉底同时代的人安提丰。
欧几里德——当我年青的时候，它还是唯一被公认的学童几何学教科书——约当公元前300年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》绝大部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的结构则绝大部分是他的。一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞叹。他用有名的品行定理以处理品行线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有力的，而又并不隐饰原始假设的可疑性。比例的理论是继承攸多克索的，其运用的方法本质上类似于魏尔斯特拉斯所介绍给十九世纪的分析数学的方法，于是就避免了有关无理数的种种困难。然后欧几里德就过渡到一种几何代数学，并在第十卷中探讨了无理数这个题目。在这以后他就接着讨论立体几何，并以求作正多面体的问题而告结束，这个问题是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉图的《蒂迈欧篇》里被提到过。
欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。当然他也具有典型的希腊局限性：他的方法纯粹是演绎的，并且其中也没有任何可以验证基本假设的方法。这些假设被他认为是毫无问题的，但是到了十九世纪，非欧几何学便指明了它们有些部分是可。以0错误的，并且只有凭观察才能决定它们是不是错误。
欧几里德几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。据说有一个学生听了一段证明之后便问，学几何学