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在一切模型之中，数学模型是用途最广泛的一种。多少世纪以来，数学以其高深玄妙而被誉为自然科学的〃皇后〃。然而在科学技术突飞猛进的今天，多学科相互交融，边缘学科不断涌现。〃皇后〃屈尊降为各学科的〃侍女〃，应运而生的交叉学科举不胜举。如生物数学、数理医药学、计量经济学、计量地理学、数量经济学等等，犹如群芳争春，竞相绽放。虽然新学科各有异彩，人们注意到一个事实：它们的共同之处就是都借助数学模型研究各自的原型世界！这些新兴学科的成功无一不是得益于数学模型的利用。尤其是在这个计算机时代，往日只有数学家才能完成的计算工作，如今一般人也能完成，这一切使得数学模型的应用成为可能，因此，模型化工作日益受到人们的重视。
应当看到，即使在今天，人们对数学模型的本质仍有许多误解。例如有人认为数学模型是一种语言，很容易予以文字解释。这恰恰与实际情况相左，数学模型的一般性常常使人不知所云。还有人认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。
本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。
§1。2 数学模型基本概念
数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。E。A。本德＇5＇在他的《数学模型引论》中这样写道：〃数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。〃具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。模型化研究具有广阔前景。
在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。
【例1。2。1】资源的配置
资源短缺是全世界共同面临的问题。如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。如果已知第i种商品的单位创利额是ci；（i=1；…；n）；生产单位商品i需消耗aij单位的资源j；（i=1；…；n j=1；…；m）；现有资源j的总量为bj，（j=1；…；m）；待决策的商品i的数量为xi，（i=1；…；n）。则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=（x1；…xn）T
j=1；…；m
xi 3 0
判别决策优劣的目标是创利额
我们记x=（x1；…xn）
A=（aij）n′m
C=（c1；…cn）T
b=（b1；…bn）T
就得到一个数学模型
max cTx （1…2…1）
s。t。 Ax￡ b
x3 0
这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。
【例1。2。2】 人口的预测
人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预测作过许多尝试。我们考虑一种最简单的情况。假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x（t0）=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t 3 t0可以得到一个粗糙的模型
或
其中，r = h－d是净生殖率，由初始条件解出
利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。
【例1。2。3】 马克思的生产模型
马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；3）被资本家剥削的剩余价值m。依据生产资料的性质，马克思把国民经济分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。由定义，两部类的总价值分别为
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
总价值
TV=I＋II
马克思指出：如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。于是，我们得到
c1＋c2 =I
v1＋m1＋v2＋m2 =II
我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。而且，都与数学结构
v1＋m1 =c2
等价。即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。值得指出的是：虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上〃等价〃。
【例1。2。4】常胜的赌徒
赌场如战场，有胜亦有败。但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏：
1。每次上赌场的目标是赢一元钱
2。一旦赢钱立刻停赌
那么他第k次的赌注为2k…1
；总赌注： Bk = 1＋2＋22＋…＋2k…1
=2k－1
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1…p。显然，连输k次的概率是qk。因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1－qk，不论〃常胜〃意味胜的概率P0有多大，只要p》0且P0 P0
换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。模型为
n （1…2…2）
s。t。 1－qk 》 P0，
2k－1 ￡ n，k为正整数
不难解出
当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！
现在我们考虑数学模型的基本概念与性质。首先给出如下定义：如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。
由定义不难得出，以下结论：一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。正如物理学中描述物体运动的牛顿模型
和爱因斯坦模型
在数学意义下相悖。但都成功地刻划了物体运动的规律。
我们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a？L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。并记 。
下面我们举例说明可分性。
【例1。2。5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型，
M：
其中主要变量有内生变量：Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；外生变量：G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：P（价格水平）。四个方程式分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。不考虑派生结构。
模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。例如可分成
M1