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n
Cov
2 = 1
n i
2
i=1
n。
Cov = 1
n（n …1）
Cov（ri ； rj ）
i=1
n。
j =1
j 1i
n。
P
2 =
1
n
1
i =1 n
n。
i
2 ＋
1
n2
i =1
n。
j =1
j1i
n。
Cov（ri
； rj）
P
2 = wiwj
i=1
n。
j=1
n。
Cov（ri
； rj）
204 第二部分资产组合理论下载
下载
第8章最优风险资产组合
205
式显示系统风险为
2。
表8 A … 1中列出在证券数目增加，
＝0和
＝0 。 4两种情况下资产组合的标准差。表
中取
＝5 0％，正如人们所意料的，资产组合风险在
＝0 。 4时较大。更令人吃惊的是在
相关性为正的情况下，当n增加时，资产组合的风险并不怎么减少，证券的相关性限
制分散化的威力。
表8A…1 相关及非相关等权重资产组合的风险降低情况
＝0
＝0 。 4
整体规模最优组合标准差标准差
的降低
比例1 /n（％）（％）
的降低
（％）
1 1 0 0 5 0 。 0 0 1 4 。 6 4 5 0 。 0 0 8 。 1 7
2 5 0 3 5 。 3 6 4 1 。 8 3
5 2 0 2 2 。 3 6 1 。 9 5 3 6 。 0 6 0 。 7 0
6 1 6 。 6 7 2 0 。 4 1 3 5 。 3 6
1 0 1 0 1 5 。 8 1 0 。 7 3 3 3 。 9 1 0 。 2 0
11 9 。 0 9 1 5 。 0 8 3 3 。 7 1
2 0 5 11 。 1 8 0 。 2 7 3 2 。 7 9 0 。 0 6
2 1 4 。 7 6 1 0 。 9 1 3 2 。 7 3
1 0 0 1 5 。 0 0 0 。 0 2 3 1 。 8 6 0 。 0 0
1 0 1 0 。 9 9 4 。 9 8 3 1 。 8 6
在1 0 0种证券的资产组合中，当各证券不相关时，标准差为5％，而且可能降至0。
当
＝0 。 4时，标准差很大，为3 1 。 8 6％，非常接近于不可分散的系统风险，系统风险
为
2
=
0。4 ′ 50 2 = 31。62％
因此，进一步分散化的价值不大。
我们从这里还有更重要的发现，当我们持有分散化的资产组合时，单个证券对资
产组合风险的影响取决于它与其他证券收益的协方差，而不是它的方差。正如我们将
在第9章看到的，风险溢价也取决于协方差而不是总收益的方差。
概念检验
问题8 A 1：假定一个风险证券资产组合中包含大量的股票，它们有相同的分布：
E（r）＝1 5％，
＝6 0％，相关系数r＝0 。 5。
a。 含有2 5种股票的等权重资产组合的期望收益和标准差是多少？
b。 构造一个标准差小于或等于4 3％的有效资产组合所需最少的股票数量为多少？
c。 这一资产组合的系统风险为多少？
d。 如果国库券的收益率为1 0％，资本配置线的斜率为多少？
概念检验问题8 A 1答案
8A1。 本题的有关参数为E（r）＝1 5％，＝6 0％，相关系数
＝0 。 5。
a。 资产组合的期望收益与资产组合规模无关，因为所有证券具有相同的期望收益。
当n＝2 5种股票时，资产组合的标准差为：
/ 2＋
×
2（n…1 ） /n＇1 / 2＝＇ 6 02/ 2 5＋0 。 5×6 02×2 4 / 2 5 ＇1 / 2＝4 3 。 2 7
P ＝＇
2
b。 因为所有股票是相同的，因此有效资产组合是等权重的，要得到标准差为4 3％
的资产组合，我们需要解出n：
206 第二部分资产组合理论
下载
602 602（n … 1）
432 =＋ 0。5 ′
nn
1 849n = 3 600＋ 1 800n … 1 800
1 800
n = = 36。73
49
因此我们需要3 7种股票。
c。 当n变得非常大时，等权重有效资产组合的方差将消失，剩下的方差来自股票
间的协方差：
=
′ 2
=
0。5 ′ 602 = 42。43
P
n＝2 5 时，我们得到系统风险（原文如此，这里应为非系统风险。—译注）
0 。 8 4％，即2 5种股票的资产组合的非系统风险为0 。 8 4％。n＝3 7时，资产组合的标准差
为4 3％，非系统风险为0 。 5 7％。
d。 如果无风险利率为1 0％，那么不论资产组合规模为多大，风险溢价为1 5－1 0＝5％，
充分分散的资产组合的标准差为4 2 。 4 3％，资本配置线的斜率为S＝5 / 4 2 。 4 3＝0 。 11 7 8。
附录8B 保险原则：风险分担与风险聚集
均值…方差分析已经被投资专家们牢牢掌握，有效分散的机制也被广泛运用。但
是一些常见的概念错误依然存在，这里我们将分析其中的几例。
一般人们相信保险公司应持有大量相互独立的保单的资产组合来规避风险。事实
是，大量的保单不仅不必要，也不是一个有效保险资产的充分条件。实际上，一个不
愿意承保单个保单的保险人也不愿意承保相互独立的大量保单的资产组合。
让我们考察一下保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson； 1963）的故事。有一次他和同
事打赌扔硬币，如果是他要的那面，他赢1 000美元，否则输给同事2 000美元，同事
拒绝了：“我不会与你打赌，因为我觉得1 000美元损失比2 000美元的收益多得多。但
是如果说赌1 0 0次的话，我愿意。”
萨缪尔森的同事和其他许多人一样，或许并不是很正确地表达了他的观点：“一
次是不是足以出现我所需要的平均定律的结果，但1 0 0次就可能了。”
另一种理性的理解是从收益率的角度考察。每次打赌，你会出资1 000 美元，有
5 0％的机会拿回来3 000美元，5 0％的机会血本无归。收益的概率分布是2 0 0％，p＝1 /2
和…1 0 0％，p＝1 / 2。
每次打赌都是相互独立和相同的，因此期望收益E（r）＝1 /2（ 2 0 0 ） ＋1 /2（…1 0 0 ）＝5 0％，
不论赌多少次，这些独立打赌资产组合的收益标准差为＇ 1 ＇
（n） =
/
n
其中每一次打赌的标准差为
= ＇1/2（200… 50）2 ＋ 1/2（…100 … 50）2＇1/2= 150％
换句话说，一系列打赌的收益的标准差小于单次打赌。通过增加打赌次数，可以
把标准差降至任一水平上。从表面看，萨缪尔森同事的话是正确的，但其实不然。
错误在于用不同规模资产组合的收益作为选择标准。尽管资产组合是等权重的，
但每增加一次打赌亦增加投资1 000美元。在公司财务课程中我们学习过，在两个独立
的项目中选其一，当项目规模不同时，不能使用内部收益率作为标准，你不得不用净
＇1＇ 结果从8 … 1 0式可以得到，设wi ＝1 /n，所有协方差为0，因为打赌是独立的。
下载
第8章最优风险资产组合
207
现值法。
考虑到单次打赌的美元利润（相对于收益率）的分布为
E（R） = 1/2′ 2 000＋ 1/2′ （…1 000）美元
= 500
R = ＇1/2（2 000… 500）2 ＋ 1/2（…1 000… 500）2＇1/2 = 1 500美元
每次打赌都是独立的，因此总利润是n次打赌的利润之和。因此，n次打赌有
E＇R（n）＇ = 500n美元
方差 （。（n） Ri ） = n R2
i=1
（n） =
n 2 =
n
R
R
R
所以美元收益的标准会随着打赌次数n的平方根这一因素的增大而增大。相比较，
收益率的标准差会随着打赌次数n的平方根这一因素的减小而减小。
类似地，在一个标准的扔硬币比赛中，扔1 0次或1 000次得到正面的比例都是5 0％，
但是扔1 000次得到的正面比例比扔1 0次更接近5 0％，这就是平均定律。
但是得到正面的确切数值在1 000次实验中偏离均值的数值大。如5 0 4次正面接近
5 0％，比均值大4。为了超过4次正面，在1 0次实验中，要求1 0次中有9次正面，这就大
大偏离了均值。在多次扔投的例子中，得到正面的数值偏离较大，但比例较小。一家
保险公司承保更多的保单也一样：资产组合的美元方差增大了，但收益率方差下降
了。
我们得到的经验是：在相互独立等规模的资产组合条件下，收益率分析是适合的。
在有一个固定的投资预算情况下，我们只考察改变资产组合中不同资产的比例带来的
后果。但是如果保险公司承保越来越多的保单，就增加了资产组合的美元投资额。因
此，从美元收益的角度出发，这种分析方法应该放弃。正如我们比较不同规模的项目
时，选用现值法而不是内部收益率法，这就是为什么风险聚集（积累独立风险的客户）
不能消除风险的原因了。
萨缪尔森的同事应这样回应：“让我们赌1 000次，每次你用2美元赌我的1美元。”
这时他的资产组合就是固定的了。等于1 000美元分散到1 000个相同并独立的赌次中，
这也使保险原则起作用。
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