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堂上习惯于把自己置于险境：对要讲的内容现想现推，好让学生得到瞧一瞧
数学思维的实际过程的一个机会。这种“现想现推”式的数学成了希尔伯特
终生难于忘怀的教益。
接下去的一学期，本来允许希尔伯特再转往柏林听课，但他深深地依恋
着他出生的家乡，于是他毅然返回了哥尼斯堡大学。1882年春季，当他再次
决定留在家乡的大学的时候，年仅17岁的赫尔曼·闵可夫斯基已在柏林学习
了三个学期后回到了哥尼斯堡。
年轻的闵可夫斯基当时胸怀壮志，完全沉浸在一项很深奥的研究之中，
他希望以此赢得巴黎科学院的数学科学大奖。那年巴黎科学院出榜征解的题
目是：将一个数表示成5个平方数之和。闵可夫斯基的研究结果大大超过了
原问题。科学院接收答案的截止日期到了，按照竞赛的要求，文章非译成法
文不可，而闵可夫斯基的文章却来不及译成法文了。事已如此，他还是决定
投搞应征。在最后一刻，他听从了大哥麦克斯的建议，在文章开头写了一个
短短的附注。他在附注中解释道：因为数学问题本身强烈地吸引着他，致使
他疏忽了竞赛规则；他并表示希望，科学院不会以为“假如我少给了些什么，
实际我给出了更多的东西。”
1883年春，比赛揭晓后，刚满18岁的闵可夫斯基果然同英国著名的数
学家亨利·史密斯共享了这份大奖。此情此景，希尔伯特看在眼里，喜在心
头。他不顾父亲的反对，很快和这个与自己家庭背景不同的年青人成了朋友。
希尔伯特比闵可夫斯基大3岁，两个人的性格在许多方面极不相象。闵可夫
斯基十分腼腆、略有些口吃。这使他与任何一个学数学的同学很难在第一年
里就建立起亲密的友谊。但是他们两个人的心是相通的，他们都深深地爱数
学，而且都怀有一种深沉的乐观主义。尽管当时许多人对一般的科学抱有极
度悲观的看法，认为某些问题无论如何是无法解答的。但是希尔伯特和闵可
夫斯基却早已确信“每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的答案：或
者给所提问题以实际的肯定回答；或者证明问题是不可解的，因为所有企图
证明它成立的努力必然失败。”
1884年春天，年仅25岁的阿道夫·赫维茨从哥廷根到哥尼斯堡任副教
授，他像闵可夫斯基一样，也享有数学天资早熟的盛名：在预科学校上学时，
他的老师汉尼巴尔·舒伯特十分欣赏他的数学才能，所以常在星期天专门向
赫维茨传授自己擅长的学问——后来人们称之为“舒伯特演算”。在舒伯特
的鼓励下，赫维茨的父亲从朋友那借来钱供儿子继续上学。后来赫维茨在菲
力克斯·克莱因的门下获得了博士学位。
希尔伯特发现新老师的外表“谦恭、朴实”，而“他那双闪耀着聪慧和
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快意的眼睛，就像是他精神的映照”。希尔伯特和闵可夫斯基很快就与赫维
茨建立了密切的关系。每天下午“准五点”，三个人必定相会“去苹果树”
下散步。这种学习方法对希尔伯特来说，要比钻在昏暗的教室或图书馆啃书
本好了不知多少倍。
日复一日的“散步”中，他们全都埋头于讨论当前数学的实际问题，他
们之间相互交换对问题新近获得的研究体会，交流彼此的想法和研究计划，
他们以这种最悠然有趣的学习方式，考察着数学世界中的各个王国。赫维茨
有着广泛“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以他是理所当然的领
头人，并使其他两位心悦诚服。从那时起，他们之间就结下了终身的友谊。
亚历山大曾对人报怨说：“父王将会征服一切，再没有什么留给我们去
攻克。”但是，希尔伯特他们没有亚历山大的担忧，因为：
数学这个世界是无穷无尽的。
三、从博士到讲师
希尔伯特在大学度过了整整八个学期，走完了取得博士学位的必经之
路，他开始考虑该选什么题目来做他的学位论文。起初，他想研究他喜欢的
连分数的一种推广，但他的博士论文导师林德曼告诉他：很不幸雅可比早就
得到了这种推广。林德曼建议他做个代数不变量理论中的问题，因为这个题
目的难度对志愿投考博士学位的人来说是恰到好处，既难而又有希望解决。
这个题目当时非常热门，希尔伯特在研究中选择了一条和一般人相信能引出
结果的办法完全不同的道路。他的创造才能充分显示出他那别出心裁的证明
道路。漂亮的工作成绩，使林德曼教授感到相当满意。
希尔伯特没有忘记将论文的抄件用快件寄给闵可夫斯基。他的父亲新近
去世，此时他正在威斯巴登陪伴他的母亲。闵可夫斯基以极大的兴趣研读了
他的论文，并在回信中高度赞扬了他的伙伴。
1884年12月11日，希尔伯特通过了口试，等待着他的最后考验是1885
年2月7日，将在大学里最庄严的大厅里举行公开的晋级典礼仪式。届时，
他必须面对两名正式指定的“对手”的质疑。
希尔伯特选来答辩的两个命题横跨了整个数学领地：第一个是关于用实
验确定绝对电磁电阻的方法；第二个涉及到哲学。他以富有说服力的论证结
束了答辩，获得了哲学博士学位。现在，希尔伯特已经迈出了他科学生涯的
第一步，但仅仅是个哲学博士是没有资格给学生们讲课的，为了取得讲课资
格，年轻的博士还得通过一种国家考试。
1885年5月，希尔怕特通过了考试。同年夏天，闵可夫斯基回到哥尼斯
堡，取得了博士学位，紧接着他就参军服役去了。在大学晋级仪式上，闵可
夫斯基的正式“对手”之一就是希尔伯特。
没有被召服兵役的希尔伯特为了弥补居住在小城市的不足，想去作一次
学习旅行，赫维茨极力主张他去莱比锡找菲力克斯·克莱因。
当年克莱因虽然刚刚36岁，却已是数学界的一位传奇人物。他23岁时，
在埃尔兰根当上了正教授。在就职典礼上，他发表了数学史上称作埃尔兰根
纲领的演讲——他大胆地建议，把许多不同的看起来毫无干系的几何，在群
的概念下加以统一和分类。
希尔伯特选听了克莱因的课，还参加了一个讨论班。这些活动给他留下
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了深刻的印象。克莱因也很器重希尔伯特——他仔细地保存了希尔伯特在讨
论班上提出的报告。他后来还说过：“一听希尔伯特的报告，我就知道他是
一个数学方面的后起之秀。”
在莱比锡，相当多的人跟希尔伯特一样对不变量理论感兴趣。在这里，
希尔伯特很快成了莱比锡数学界内的一员，他结交了几位年轻的数学家——
乔治·皮克、爱德华·斯塔迪。本来克莱因特意力促斯塔迪和希尔伯特两位
到南方的埃尔兰根去访问他的朋友保尔·果尔丹——当时公认的“不变量之
王”。但由于某种原因，大概是希尔伯特不喜欢斯塔迪和他作伴，这趟远征
并未成行。
1885年12月初，希尔伯特第一篇关于不变量的文章经克莱因提交给了
科学院。
克莱因自己年轻时曾和他的朋友索弗斯·李相伴去巴黎旅行。两个人都
学得了有关群论的知识，这些知识在他们的学术生涯中已经发挥了重大作
用，所以克莱因总是试图把每个有培养前途的德国青年数学家送往巴黎。因
为赫维茨也支持克莱因的忠告，所以在1886年3月的时候，希尔伯特便踏上
了去巴黎的旅途。
在巴黎，希尔伯特不得不和那位很难相处的斯塔迪协力合作这次由克莱
因建立的数学访问。因为斯塔迪也是按照克莱因的劝告，先期到了那里。
希尔伯特一安顿下来，就给克莱因写信。这封信证明他对这位教授非常
之敬重。他首先极细心地打了一份草稿，措词适当而优美，然后用罗马手写
体大字精心书写了一遍，而那时候他给赫维茨写信仍旧用的是歌德体，他遵
照克莱因的教诲�