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“孰习九数之术，常立表线，用长短式依节候以测日景，便易稽考”。
余楙在《白岳庵诗话》中说他“夜尝露坐山顶，以测象纬躔次”。
李善兰早年在家乡娶妻许氏，至今，李善兰的家乡还在流传着他在新婚
之夜探头于阁楼窗外观宿星宿的故事。
三、尖锥术
1840年，鸦片战争爆发。帝国主义列强入侵中国的现实激发了李善兰科
学救国的思想。他说：
“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，
推原制器之精，算学明也。”
“异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震慑，奉朝贡。”
从此他在家乡刻苦从事数学研究工作。
1842年5月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦，乍浦离李善兰的家乡硖石只
有几十里的路程。他耳闻目睹侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，奋笔
疾作 《乍浦行》一诗：
“壬寅四月夷船来，海塘不守城门开。
官兵畏死作鼠窜，百姓号哭声如雷。
夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。”
… Page 5…
“饱掠十日扬帆去，满城尸骨如山堆，
朝廷养兵本卫民，临敌不战为何哉？”
表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清
政府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。
1845年前后，李善兰在嘉兴陆费设馆授徒，得以与江浙一带以数学家为
主的学者顾观光（1799—1862）、张文虎（1808—1885）、汪曰桢（1813—
1881）等人相识，他们经常在一起讨论数学问题。此间，李善兰有关于“尖
锥术”的著作 《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等问世。
19世纪40年代，在近代数学尚未自西方传入中国的条件下，李善兰异
军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限
方法的基础上出发，大胆创新，发明尖锥术，具有解析几何的启蒙思想，得
出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函
数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19世纪中国数
学界最重大的成就。
李善兰认为：
“元数起于丝发而递增之而造成则成平尖锥；
“平方数起于丝发而渐增之而迭之则成立尖锥；
“立方数起于丝发而渐增之变为面而迭之则成三乘尖锥；
“三乘方数起于丝发而渐增之变为面而迭之成三乘尖锥，……
“从此递推可至无穷。然则多一乘之尖锥皆少一乘方渐增渐迭而成也。”
因此，“诸乘方皆有尖锥”，
“三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体，而成凹形。乘愈多，则
凹愈甚”（图1）。
“尖锥之算法”乃是
“以高乘底为实，本乘方数加1为法，除之得尖锥积”。
又，“二乘以上尖锥所迭之面皆可变为线”，
“诸尖锥既为平面，则可变为一尖锥”。
n
这样，对于一切自然数n，乘方数X都可用线段长表示，它们可以积迭
成n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线，高线和凹向的尖锥曲线组成。
乘数愈多（即幂次愈高），尖锥曲线其凹愈甚（图2）。
2 …8 2 …8
在《方圆阐幽》中，李善兰取X=10及X=2×10，用“分离元数法”
归纳得二项平方根展开式
… Page 6…
2 ∞ （2n
… Page 7…
其中正切、正割、正反切、正反割的幂级数展开式是在中国首次独立得到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十道命题，从各个方面描述对数合尖
锥曲线的性质。例如命题九“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，彼截线
与此截线可相为比例。”（图5）
即是说xy=xy，或xy=c（这里c=bh为常量）。然后，根据这些性质
1122
得出了对数的幂级数展开式
∞
1
lgn
… Page 8…
誉。英国传教士伟烈亚力 （1815—1887）说：
“李善兰的对数论，使用了具有独创性的一连串方法，这到了如同圣文
森特的格雷戈里 （1638—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果。”
“倘若李善兰生于纳皮尔（1550—1917）、布里格斯（1556—1631）之
时，则只此一端即可闻名于世。”
顾观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认
为这是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰说：“中土
李 （善兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，并大声疾呼“以告中土
之受欺而不悟者”。
四、著书与交往
1845年，李善兰还撰著了《四元解》 2卷。
《四元解》是解释元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程自消之解法。
朱世杰字汉卿，号松庭。北京附近人。他的《四元玉鉴》成书于1303
年，全书分3卷，24门，共288个问题，最主要的问题是四元术。
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。
四元术是多元高次方程列方程亦解方程的方法，未知数最多时可至4
个。
四元术开头处总要有
“立天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即
相当于现代的
“设x，y，z，u为××，○○，△△，**。”
天元术是用一个竖列的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而
四元术则是天元术的推广。
朱世杰的四元术消去法，即将多元高次方程组依次消元，最后只余下一
个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。譬如：二元二行式的消法，
其步骤可简述如下：
例如“假合四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元二
行式，这相当于求解
… Page 9…
相消。”也就是
F（z）=AB…AB=0。
01 10
此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z之值，代入上式任
何一式中，再解一次只含x的方程即可求出x。
李善兰的《四元解》，则是以自己的见解解四元方程组，对了解朱世杰
原意帮助不大。
1848年，李善兰撰著《麟德术解》，解释唐李淳风（602—670）“麟德
历”中的二次差内插法。
李淳风，岐州雍县 （今陕西风翔）人。撰麟德历，于公元665年行用。
麟德历引进了刘焯 （544—610）的二次差内插法推算太阳和月亮的不均
匀运动。
刘焯的二次差内插法全称是等间距二次差内插法，它的算式可以概括为
t （ △
… Page 10…
广泛的交往。
五、翻译西方科学著作
1852年夏，李善兰到上海墨海书馆，将自己的数学著作给来华的外国传
教士展阅，受到伟烈亚力等人的赞赏，从此开始了他与外国人合作翻译西方
科学著作的生涯。
伟烈亚力祖籍苏格兰，1791年其父移居伦敦。他先后在苏格兰和伦敦上
学，中学毕业后跟随一家具匠为学徒。他很早就对中国深感兴趣，借助于一
本拉丁文的 《汉语知识》和一部汉译《新约》，他无师自通，掌握了汉语的
大概。1846年，英国伦敦会在华传教士理雅各返英为本会在华出版机构物色
人选，伟烈亚力毛遂自荐。理雅各对他的天才十分惊叹，立即接收他入会。
经过半年印刷业务进修之后，随即被派往中国。1847年8月26日来华后，
在上海