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（2）如果每个前提都是部分虚假的，结论也可能是真实的。没有什么阻止A和B属于有些C，而A属于有些B。例如，“白的”和“黑的”属于某种动物，白的东西属于某种美的东西。因而，如果规定A和B都属于所有C，前提就是部分虚假的，但结论却是真实的。如果规定AC是否定的，情况也相同。因为没有什么阻止A不属于某个C，B属于某个C，A不属于所有B。例如，白的不属于某种动物，美的属于某种动物，白的不属于每个美的事物。所以，如果设定A不属于任何C，B属于所有C，两个前提都是部分虚假的，但结论是真实的。
（3）如果一个前提是整个虚假的，另一个前提是整个真实的，情况亦然。A和B两者都可能是所有C的后件，但是A可能不属于有些B。例如，“动物”和“白的”是一切“天鹅”的后件，但动物不属于任何白的事物。规定了这些词项后，如果设定B属于所有C，但A不属于所有C，BC是整个真实的，AC是整个虚假的，但结论却是真实的。如果BC是虚假的，AC是真实的，情况亦相同。同样的词项黑的天鹅无生命的事物，可用于证明。如果设定两个前提都是肯定的，结果也必定如此。因为没有什么阻止B 是所有C的后件，A不属于所有C，A不属于某个B。例如，动物属于所有天鹅，黑的不属于任何天鹅，黑的属于某种动物。所以，如果设定A和B都属于所有C，BC是整个真实的，AC是整个虚假的，结论是真实的。如果设定前提AC是真实的，情况也相同。可以通过相同的词项得到证明。
（4）再者，当一个前提整个是真实的，另一个前提是部分虚假的时，情况还是一样的。B可能属于所有C，A属于某个C，A属于某个B，例如，“双足的”属于所有人，但“美的”不属于所有人，“美的”属于某种“双足的”。因此，如果设定A和B都属于C的全部，BC是整个真实的，AC是部分虚假的，但结论是真实的。如果所设定的前提AC是真实的，BC是部分虚假的，情况也相同；将同样的词项重新排列就可以得到证明。如果一个前提是否定的，另一个前提是肯定的，情况亦然。B属于C的全体，A属于某个C，这都是可能的。当词项处于这样的联系中时，A不属于所有B，如果设定B属于C的全体，A不属于任何C，则否定前提部分是虚假的，另一个是整个真实的，结论也是真实的。再者，已经证明，当A不属于任何C，B属于有些C时，A不属于有些B是可能的。显然，当AC是整个真实的，BC是部分虚假的时，结论仍然可能是真实的。因为如果设定A不属于任何C，B属于所有C，则AC是整个真实的，BC是部分虚假的。
在特称三段论中，显然在任何条件下都可能通过虚假前提获得一个真实的结论。因为所设定的词项必定与当前提是全称的时所设定的词项相同。在肯定三段论中是肯定词项，在否定三段论中是否定词项。无论我们设定不属于任何一个的属于所有，还是设定属于某个的属于全体，这对于词项的规定是无所谓的。在否定三段论中，情况也同样。
很显然，当结论是虚假的时，则论证的根据必定要么全部、要么部分是虚假的；但结论是真实的时，论证的根据并不必然全部或部分是真实的，即使三段论没有一部分是真实的，结论也可能是真实的，尽管它不是必然可以推出。理由在于，当两件事物相互联系，第一件存在，第二件也必然存在时，那么，当第二件不存在时，第一件也必然不存在；但当第二件存在时，第一件不必然存在。因为无论同样的决定因素属于还是不属于，同一事物都必然存在，这是不可能的。我的意思是说，例如，无论A是白的还是不白的，B必定是大的，这是不可能的。因为当这个特殊的事物A是白的时，这个事物B必定是大的，并且如果B是大的，则C不可能是白的，那么如果A是白的，C便不可能是白的。当两件事物中前者存在时，后者必定存在，如果后者不存在，则前者A不能存在。因而当B不是大的时，A不可能是白的，但如果当A不是白的时，D必定是大的，那就必然可以推出，当B不是大的时，B自身是大的，但这是不可能的。因为B如果不是大的，A就必然不是白的。因而，如果当A不是白的时，B是大的，那就可以推出，如果B不是大的时，它是大的，正如证明是通过三个词项获得的一样。
【5】 循环或交互证明就是通过结论，通过一个前提的简单换位，来证明另一个在原来的三段论中设定的前提。例如，假如要求证明A属于所有C，这途径是通过B来证明，然后又转而要求证明A属于B，设定A属于C，C属于B，所以A属于B（在原来的三段论中设定了相反形式的命题：B属于C）；或者假如要求证明B属于C，人们会说A是C的谓项，这是以前的结论，并且B是A的谓项（而在原来的三段论中设定的命题形式与此相反：A是B的谓项），交互证明在其他任何方式中都是不可能的。因为如果我们设定一个不同的中项，则证明不是循环的（因为没有相同的命题被设定）；如果我们要设定它们，则必定只有一个；如果两个都被设定，我们就得到了与以前相同的结论，而不是获得另一个。
因而，当转换不可能时，三段论由此产生的前提之一是不能被证明的；因为，从给定的词项中不可能证明小词属于中词或中词属于大词。但如果转换是可能的，即如果A、B、C可以互相转换，那么就能交互地证明一切事物。设AC通过中项B被证明，AB通过结论以及前提BC的转换得到证明，BC也用同样的方式，即通过结论和前提AB的转换被证明。可是，我们必须证明前提CB和BA，因为这些是我们使用过的前提中仅剩的尚未被证明的前提。如果设定日属于所有C，C属于所有A，我们就能得出一个关于B与A的联系的三段论。再者，如果设定C属于所有A。A属于所有B，则C必定属于所有B。在这两个三段论中，前提CA都是断定的，而没有经过证明（其他前提已经被证明了），因此，如果我们证明了它，那么它们就都能交互地得到证明。如果设定C属于所有B，B属于所有A，这两个所设定的前提都已被证明，则C必定属于所有A。
因此，很显然，只有当换位可能时，循环的交互的证明才可能产生；在其他三段论中，它们的使用情况一如上述。在它们之中也会出现用有待于证明的东西来进行证明的情况，我们通过设定C述说A证明C述说B、B述说A，我们又通过这些前提证明C述说A。所以，我们是使用了结论来进行证明。
在否定三段论中，交互证明是这样产生的。让B属于所有C，A不属于任何B，结论是，A不属于任何C。如果反过来要求确立以前所设定的A不属于任何B，则我们要有前提A不属于任何C，C属于所有B；这样，前提BC就颠倒了。另一方面，如果要求确立B属于C，则前提AB一定不能再像以前那样换位（因为前提“B不属于任何A”与“A不属于任何B”是相同的）；但我们必须设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体。让A不属于任何C（它是以前的结论），设定B属于A所不属于其任何部分的事物的全体，则B必定属于所有C。
这样，在三个命题中，每一个都变成了结论，这就是循环证明，即设定结论以及一个前提的换位，由此推论出余下的前提。
在特称三段论中，全称前提不能通过其他前提得到证明，但特称前提却可以。全称前提不可能被证明是很显然的。因为全称前提是通过全称前提证明的，但结论不是全称的。而我们必须从结论及另一个前提中得出证明（此外，如果前提可以互换，则根本不会有三段论产生，因为两个前提都变成了特称的）。但特称前提是可以证明的。设定通过B 证明A述说于有些C。如果设定B属于所有A，结论不变，则B属于有些C，因为这是第一格，中词是A。
如果三段论是否定的，则全称前提不可能被证明，原因如同上述。但特称前提是可以证明的。如果AB可以像在全称三段论中那样转换，即B属于A不属于其有些部分的事物的有些部分，否则，就不能产生三段论，因为特称前提是否定的。
【6】 在第二格中，肯定命题不能以这种方式证明、但否定命题却可以。肯定命题不能被证明，因为两个前提并不都是肯定的，结论是否定的，而肯定命题只能为两个都是肯定的前提所证明。否定命题可作如下证明。让A属于所有B，但不属于任何C，结论是B不属于任何C。那么，如果设�