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第二部分 魔力幻觉第24节 锥线法的魔力
现代的镜子技术归功于古希腊人对几何学的着魔，尤其是归功于对奇怪的圆锥体的研究。对圆锥体的研究始于公元前约350年与柏拉图为同时代人的米奈克穆斯（Menaechmus）。试想把一个冰淇淋蛋卷倒扣过来使尖顶朝上呈直角（90度角）。米奈克穆斯在与侧坡面平行处截去一片就产生了一条曲线，后来也被叫做抛物线。
他发现还可以得出两个有趣的圆锥体曲线：将圆锥体的顶部以一定的角度截去可得出一个椭圆，如垂直截去一片则得出双曲线。数百年之后，这些曲线将对制作望远镜有重要的用途。尽管米奈克穆斯所得出的圆锥体曲线有些不同，但是如果将两个圆锥体尖顶对着尖顶按一个轴心线来切割，就可以清晰地看出这三种曲线。
当希腊人发现了圆锥曲线之后，他们（其中包括欧几里得和阿基米德）就如痴如醉地开始了对曲线的研究。佩尔吉的阿波洛尼乌斯（Apollonius of Perga；约公元前262…约公元前190）生于希腊爱奥尼亚（今属土耳其）。他是第一个将三种圆锥曲线称作抛物线、椭圆和双曲线的人。阿波洛尼乌斯年轻时来到亚历山大城，师从欧几里得。阿波洛尼乌斯非常喜爱自己的研究工作，总是以一种自豪感提及这些“最美妙的定理，” 并获得了“伟大的几何学家”的称号。除了别的成就之外，他还证明了椭圆有两个焦点，到椭圆任何一点的焦距的合都是相同的，而从一个焦点射出的直线（比如光线）会从椭圆上任何一点“弹”到另一个焦点。
奇怪的是，阿波洛尼乌斯并没有提抛物线的焦点。这个工作留给了他的同时代人、住在希腊乡村阿卡迪亚的狄奥克莱斯（Diocles）。在古希腊时代，数学家们常常独处一隅埋头搞研究，只是通过信件和旅行来相互交流。狄奥克莱斯在他的著作《论凸透镜》中解释道：“当天文学家芝诺多罗斯来到阿卡迪亚并被介绍给我们时，他问我们如何找到这样一个镜面即当它面对太阳时，镜面上所反射出的光线能汇集到一个焦点从而引起燃烧。” 作为解答，狄奥克莱斯证明用抛物面反光镜（由轴心线转动一个碗状物而产生的抛物线形状的金属反射镜面）可以将平行的光束聚集到一个焦平面上。
当然，凸透镜在当时已被广泛使用，但是大多数凸透镜都是球面形的，即一个球体剖面的反射凹形面。狄奥克莱斯证明，用球面形镜子聚集光束，聚到轴心的平行光束被反射的位置相互离得很近，但并不完全聚集在一个焦平面上，从而导致了我们现在称之为的球面光行差。因此，球形体并不是凸透镜的最有效的形状。
第二部分 魔力幻觉第25节 希腊时代科学巅峰的最后的光辉瞬间
亚历山大城的希罗（Hero）比耶稣晚出生十年。希罗以百科全书的方式写了关于数学、物理学、气体力学、力学和光学的实用指南，包括如何制作诸如会唱歌的鸟、水钟、用硬币操作的售货机、蒸汽发动机和战争机器等奇妙装置的详细说明。他还写了完全论述镜子的著作《反射光学》。他写道，“反射光学很显然是一门值得研究的科学，同时又能产生引人入胜的奇观。”
他写道，借助于镜子，我们就可以“看到我们的后背，看到我们颠倒过来、倒立、有三只眼睛、两个鼻子、面貌扭曲犹如处于极度痛苦之中。” 他还展示了如何制作能显示“众多形象”的多面镜。希罗还写进了数学验算，证明入射角和反射角是相等的。他也知道这个定律适用于曲面镜：和反射点处与曲线呈正切的直线相比，这些角度都是相等的。（注释3） 希罗注意到，两个以直角相对的平面镜将会左右颠倒，让观察者感到他们看到了别人。
（注释3）所谓正切曲线就是在一点上接触到曲线的直线。想象一下在一个滚动的保龄球上平衡的格尺。
希罗约卒于公元75年，之后不久，在光学界又出现了一位伟大的科学家，他就是克劳迪乌斯·托勒密（不是亚历山大国王手下的托勒密将军）。托勒密生于并且生活于亚历山大城附近，主要以天文学成就著称。他发明了一个精美的宇宙模型，里面有嵌套的球体和特殊的轮中套轮的球体代表星体似乎怪异的行为。他还写了五卷本的《光学》著作，其中两卷讲的是镜子。尽管第一卷已经流失，但是幸存下来的四卷却写得非常全面和详细。托勒密用高度抛光的凹凸金属碗状体作了无数的实验。尽管他主要基于欧几里得和希罗的理论，但他在努力解释复杂的视觉现象时也有自己的独创。他主要感兴趣的东西是镜子里产生的光学幻觉现象。在镜子里我们看到的物体其实并不存在于它们所在的地方。在平面镜里，形象总是出现在镜子的后面，其距离与镜子前面真正的物体的距离相等。
同样，往凸形球面镜子里看的人总是看到形象在镜子的后面，但是形象却有些变形、较小而且显得更远些。托勒密将凹形球面镜放在最后来解释，因为它们最复杂。放在镜面和镜子的焦平面之间的物体似乎右侧在上而且变大了，它的形象在镜子的后面。但是当把物体放在焦平面的外边时，反射的物体即上下颠倒，而且放得越远物体越小。这个形象似乎存在于镜子前面的空中。
随着罗马帝国的衰败，古希腊时代的科学也在走下坡路。亚历山大城的泰欧恩） （Theon）（我们可以猜出他的生卒年月因为他在365年观察了一次日全食）修改了欧几里得的《光学》，而且可能借助于希罗的成就（说借助于欧几里得是误说）写了一部关于镜子的书。泰欧恩的助手是他的女儿希帕蒂亚（Hypatia）。希帕蒂亚也是一位科学家，并且就阿波洛尼乌斯的《锥线论》写了一篇评论。415年，她被一伙狂热的基督教徒所谋杀，因为他们害怕她的“异教”学问。她的作品都没有流传下来。
希帕蒂亚的死标志着亚历山大城作为文化中心衰亡的开始，因为许多其他的学者也纷纷离去。一个世纪后，特拉尔斯的安提米乌斯（Anthemius；修复了带有100英尺直径圆顶的圣索菲亚大教堂的建筑师）试图回答这个问题：“在远于一箭之地的某个地方我们如何利用太阳光线来燃烧？” 正如他所指出的那样，要达到燃烧目的所需要的距离太远，一面镜子根本办不到，除非那面镜子出奇地大。“但是既然人们都说阿基米德曾利用过太阳光线燃烧过敌人船只，而他的这个伟大的荣誉谁也不能去剥夺，”他继续说，“那么我们就有理由假设这个问题可以解决。”
安提米乌斯继而用数学方式作了演算，即用平面镜沿着抛物曲线的正切曲线，提出抛物线的近似值。他通过试验得出结论，至少得需要24面镜子才能达到燃烧的目的。不过，“为了避免麻烦人们来帮忙，”他设计了一个只需一个人操作的机械装置。这个装置包括一个处于中心位置的六边形镜子，两边再用皮带或者球窝接头固定上一些较小的镜子，并以同心圆的格局在外沿再附上一些更小的镜子。通过试验将镜子向内侧折，“在指定地点即可发生燃烧。”
安提米乌斯很有可能将他的试验做了实际应用。据12世纪的一位历史学家记载，安提米乌斯的老师普罗克鲁斯（勿与更著名的普罗克鲁斯·狄奥多库斯Proclus Diadochus相混淆）于公元515年即安提米乌斯死之前19年利用燃烧镜烧毁了包围君士坦丁堡的一支敌人舰队。如果这个传说是真的，那么安提米乌斯就有可能帮助他的老师制作了这些燃烧镜。
安提米乌斯在他的关于镜子的著作里还解决了另一个迷人的问题，即如何“让太阳光线落到一个指定的位置，不管在何时和何季节都不移动。” 他将一排小平面镜子与一个椭圆的一个部分呈正切曲线排列从而解决了这个问题（至少是假设解决了）。从阿波洛尼乌斯那里，他知道了到椭圆任何一点的焦距的合都是恒值的。他根据这个道理演绎出一个画椭圆形的巧妙方法。将两颗钉子在两处理想的焦点钉进木头。将一根绳子的两头各拴在两颗钉子上，绳子要比两颗钉子间的距离长。现在用铅笔沿着绳子内侧画一条线，绳子要绷紧。其结果就是一个椭圆。
安提米乌斯还知道，从椭圆的一个焦点穿过的光线总是从内侧表面弹起然后穿过另一个焦点。为了解决这个问题，安提米乌斯设计了一个“缝或者门”来让